Fondamenti di analisi matematica. Come trovare la derivata?
La derivata di alcune funzioni f (x) nel calcestruzzoil punto x0 è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento, a condizione che x segua a 0 e che il confine esista. La derivata è di solito denotata da un numero primo, a volte da un punto o attraverso un differenziale. Spesso, un record tracciato attraverso il confine è fuorviante, dal momento che tale rappresentazione viene utilizzata molto raramente.
Una funzione che ha una derivata in un certopunto x0, è consuetudine chiamarlo differenziabile in tale punto. Supponiamo che D1 sia l'insieme di punti in cui f è differenziata. Assegnando a ciascun numero il numero x appartenente a D f '(x), otteniamo una funzione con il dominio della notazione D1. Questa funzione è la derivata di y = f (x). È denotato come f '(x).
Inoltre, la derivata è ampiamente utilizzata infisica e ingegneria. Consideriamo l'esempio più semplice. Il punto materiale si sposta lungo l'asse delle coordinate direttamente, a quale è data la legge del movimento, cioè la coordinata x di questo punto è la funzione nota x (t). Durante l'intervallo di tempo da t0 a t0 + t, lo spostamento del punto è x (t0 + t) -x (t0) = x, e la sua velocità media v (t) è x / t.
A volte il carattere del movimento è rappresentato in modo tale che quandopiccoli intervalli di tempo, la velocità media non cambia, il che significa che il movimento è considerato più uniforme con un maggior grado di precisione. O il valore della velocità media, se t0 segue un valore assolutamente esatto, che è chiamato velocità istantanea v (t0) di questo punto in uno specifico istante di tempo t0. Si presume che la velocità istantanea v (t) sia nota per qualsiasi funzione differenziata x (t), con v (t) uguale a x '(t). In poche parole, la velocità è la derivata della coordinata temporale.
La velocità istantanea ha sia positivo chevalori negativi, e anche il valore 0. Se è positivo per un certo intervallo di tempo (t1; t2), allora il punto si muove nella stessa direzione, cioè la coordinata x (t) aumenta con il tempo, e se v (t) è negativa, allora la coordinata x (t) diminuisce.
Nei casi più complessi, il punto si muove su un piano o nello spazio. Quindi la velocità è una quantità vettoriale e determina ciascuna delle coordinate del vettore v (t).
Allo stesso modo, si può confrontare con l'accelerazionepunto di movimento. La velocità è una funzione del tempo, cioè v = v (t). E la derivata di tale funzione è l'accelerazione del movimento: a = v '(t). Cioè, si scopre che la derivata della velocità rispetto al tempo è un'accelerazione.
Supponiamo che y = f (x) - qualsiasi differenziatola funzione. Quindi possiamo considerare il movimento di un punto materiale lungo una linea di coordinate, che si verifica oltre la legge x = f (t). Il contenuto meccanico della derivata consente di presentare un'interpretazione visiva dei teoremi del calcolo differenziale.
Come trovare un derivato? Trovare la derivata di una funzione è chiamata la sua differenziazione.
Daremo esempi su come trovare la funzione derivata:
La derivata di una funzione costante è zero; la derivata della funzione y = x è uguale a uno.
E come trovare la derivata di una frazione? Per fare ciò, considera il seguente materiale:
Per ogni x0 <> 0 avremo
y / x = -1 / x0 * (x + x)
Ci sono diverse regole per trovare una derivata. Vale a dire:
Se le funzioni A e B sono differenziate a x0,quindi la loro somma è differenziata nel punto: (A + B) '= A' + B '. In parole povere, la derivata della somma è uguale alla somma delle derivate. Se la funzione è differenziata in qualche punto, allora il suo incremento dovrebbe essere zero quando l'incremento dell'argomento va a zero.
Se le funzioni A e B sono differenziate a x0,quindi il loro prodotto è differenziato nel punto: (A * B) '= A'B + AB'. (I valori delle funzioni e dei loro derivati sono calcolati nel punto x0). Se la funzione A (x) è differenziata a x0 e C è costante, allora la funzione CA è differenziata in quel punto e (CA) '= CA'. Cioè, un tale fattore costante viene eliminato per il segno del derivato.
Se le funzioni A e B sono differenziate in x0 e la funzione B non è uguale a zero, anche il loro rapporto è differenziato al punto: (A / B) '= (A'B-AB') / B * B.
