Quali sono i numeri razionali? Cosa sono?
Quali sono i numeri razionali? Studenti senior e studenti di specialità matematiche, probabilmente, risponderanno facilmente a questa domanda. Ma quelli che sono di gran lunga lontani da questo, saranno più difficili. Com'è veramente?
L'essenza e la designazione
Con numeri razionali,che può essere rappresentato come una semplice frazione. Positivo, negativo e anche zero entrano in questo set. Il numeratore della frazione deve essere un numero intero e il denominatore deve essere un numero naturale.
Questo insieme in matematica è indicato come Q eè chiamato il "campo dei numeri razionali". Lì entrano tutti gli interi e naturali, indicati rispettivamente come Z e N. Lo stesso insieme Q entra nell'insieme R. È questa lettera che denota i cosiddetti numeri reali o reali.
idea
Come già accennato, i numeri razionali sonoset, che include tutti i valori interi e frazionari. Possono essere presentati in diverse forme. Innanzitutto, sotto forma di frazioni ordinarie: 5/7, 1/5, 11/15, ecc. Naturalmente, anche gli interi possono essere scritti in una forma simile: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2, ecc in secondo luogo, un altro tipo di presentazione - una parte frazionaria decimale finita: .... 0.01, -15,001006, ecc Questo è forse una delle forme più comuni.
Ma c'è anche un terzo - una frazione periodica. Questo tipo non è molto comune, ma è ancora usato. Ad esempio, la frazione 10/3 può essere scritta come 3,33333 ... o 3, (3). In questo caso, le diverse rappresentazioni saranno considerate numeri analoghi. Verranno anche chiamate frazioni equivalenti, ad esempio 3/5 e 6/10. Sembra che sia diventato chiaro quali sono i numeri razionali. Ma perché usare questo termine per la loro designazione?
Origine del nome
La parola "razionale" nel russo modernonel caso generale ha un significato leggermente diverso. È piuttosto "ragionevole", "deliberato". Ma i termini matematici sono vicini al significato diretto di questa parola presa in prestito. In latino, "ratio" è una "relazione", "frazione" o "divisione". Quindi, il nome riflette l'essenza di ciò che sono i numeri razionali. Tuttavia, il secondo valore
Azioni con loro
Quando risolviamo problemi matematici, siamo costantementeincontriamo numeri razionali senza saperlo da soli. E hanno un numero di proprietà interessanti. Tutti seguono la definizione del set o le azioni.
Innanzitutto, i numeri razionali hanno la proprietàrapporti di ordine. Ciò significa che tra i due numeri non può esistere che una sola relazione: sono uguali tra loro o uno è maggiore o minore dell'altro. E .:
o a = b; o a> b, o a <b.
Inoltre, questa proprietà implica anche la transitività della relazione. Cioè, se un più di B, B più di c, quindi un più di c. Nel linguaggio della matematica, assomiglia a questo:
(a> b) ^ (b> c) => (a> c).
In secondo luogo, ci sono operazioni aritmetiche connumeri razionali, cioè addizione, sottrazione, divisione e, ovviamente, moltiplicazione. In questo processo, è possibile distinguere diverse proprietà nel processo di trasformazione.
- a + b = b + a (cambio di luogo dei termini, commutatività);
- 0 + a = a + 0;
- (a + b) + c = a + (b + c) (associatività);
- a + (-a) = 0;
- ab = ba;
- (ab) c = a (bc) (distribuzione);
- a x 1 = 1 x a = a;
- a x (1 / a) = 1 (qui, a non è 0);
- (a + b) c = ac + ab;
- (a> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).
Quando si tratta di ordinario, e nondecimali, frazioni o interi, le azioni con essi possono causare alcune difficoltà. Quindi, addizione e sottrazione sono possibili solo se i denominatori sono uguali. Se inizialmente sono diversi, dovresti trovare un comune, usando la moltiplicazione dell'intera frazione di determinati numeri. Il confronto è anche il più spesso possibile solo se questa condizione è soddisfatta.
Divisione e moltiplicazione delle frazioni ordinariesono fatti in conformità con regole abbastanza semplici. La riduzione al comune denominatore non è necessaria. Numeratori e denominatori vengono moltiplicati separatamente, mentre nel processo di esecuzione dell'azione, se possibile, la frazione deve essere ridotta al minimo e semplificata il più possibile.
Per quanto riguarda la divisione, questa azione è simile alla prima con una piccola differenza. Per la seconda frazione, trova l'inverso, cioè
Infine, un'altra proprietà inerente al razionalenumeri, è chiamato l'assioma di Archimede. Spesso nella letteratura c'è anche il nome "principio". È valido per l'intero insieme di numeri reali, ma non ovunque. Pertanto, questo principio non si applica a determinati insiemi di funzioni razionali. In sostanza, questo assioma significa che se ci sono due quantità a e b, puoi sempre prendere un numero sufficiente di a per superare b.
Ambito di applicazione
Quindi, quelli che hanno imparato o ricordato ciò che ènumeri razionali, diventa chiaro che sono usati ovunque: in contabilità, economia, statistica, fisica, chimica e altre scienze. Naturalmente, hanno anche un posto in matematica. Non sempre sapendo che abbiamo a che fare con loro, usiamo costantemente numeri razionali. Ancora bambini, imparando a contare gli oggetti, tagliando una mela a pezzi o eseguendo altre semplici azioni, affrontali. Ci circondano letteralmente. Tuttavia, non sono sufficienti a risolvere alcuni problemi, in particolare, con l'esempio del teorema di Pitagora si può comprendere la necessità di introdurre il concetto di numeri irrazionali.
