Quali sono gli zeri di una funzione e come definirli?

Cosa sono gli zeri di una funzione? La risposta è piuttosto semplice - è un termine matematico, con il quale si intende il dominio della definizione di una data funzione, su cui il suo valore è zero. Gli zeri di una funzione sono anche chiamati le radici dell'equazione. Il modo più semplice per chiarire quali sono gli zeri di una funzione, su alcuni semplici esempi.

esempi

Considera la semplice equazione y = x + 3. Poiché lo zero di una funzione è il valore dell'argomento a cui y ha acquisito un valore zero, sostituire 0 a sinistra dell'equazione:

0 = x + 3;

x = -3.

In questo caso, -3 è lo zero desiderato. Per questa funzione, c'è solo una radice dell'equazione, ma questo non è sempre il caso.

Consideriamo un altro esempio:

y = x²-9.

Sostituiamo 0 sul lato sinistro dell'equazione, come nell'esempio precedente:

0 = x²-9;

-9 = x² .

È ovvio che in questo caso saranno gli zeri della funzionedue: x = 3 e x = -3. Se ci fosse un argomento di terzo grado nell'equazione, ci sarebbero tre zeri. Si può trarre una semplice conclusione che il numero di radici di un polinomio corrisponde al massimo grado dell'equazione nell'equazione. Tuttavia, molte funzioni, ad esempio y = x³ , a prima vista contraddire questa affermazione. La logica e il buon senso suggeriscono che questa funzione ha solo uno zero nel punto x = 0. Ma in realtà ci sono tre radici, tutte coincidono. Se l'equazione è risolta in una forma complessa, questo diventa ovvio. x = 0 in questo caso, la radice la cui molteplicità è 3. Nell'esempio precedente, gli zeri non coincidevano, quindi avevano molteplicità 1.

L'algoritmo per determinare

Dagli esempi presentati, puoi vedere come determinare gli zeri di una funzione. L'algoritmo è sempre lo stesso:

1. Scrivi una funzione.
2. Sostituisci yof (x) = 0.
3. Risolvi l'equazione risultante.

La complessità dell'ultimo elemento dipende dal gradoargomento dell'equazione. Quando si risolvono le equazioni di alto grado, è particolarmente importante ricordare che il numero di radici dell'equazione è uguale alla potenza massima dell'argomento. Ciò è particolarmente vero per le equazioni trigonometriche, dove la divisione di entrambe le parti per un seno o un coseno porta a una perdita di radici.

Equazioni di grado arbitrario sono facilmente risolte dal metodo Gorner, che è stato sviluppato specificamente per trovare gli zeri di un polinomio arbitrario.

Il significato degli zeri delle funzioni può essere onegativo, e positivo, reale o giacente nel piano complesso, singolo o multiplo. O le radici dell'equazione potrebbero non esserlo. Ad esempio, la funzione y = 8 non otterrà un valore zero per ogni x, perché non dipende da questa variabile.

L'equazione y = x²-16 ha due radici e entrambe giacciono nel piano complesso: x₁= 4i, x₂= -4і.

Errori comuni

Un errore comune che gli scolari consentono, ancoranon capito veramente quali siano gli zeri di una funzione, è la sostituzione dell'argomento (x) per zero, e non il valore (y) della funzione. Sono sicuramente sostituiti nell'equazione x = 0 e, in base a ciò, viene trovato y. Ma questo è un approccio sbagliato.

Un altro errore, come già accennato,seno o coseno nell'equazione trigonometrica, a causa della quale si perdono uno o più zeri della funzione. Ciò non significa che nulla possa essere ridotto in tali equazioni, semplicemente con ulteriori calcoli è necessario prendere in considerazione questi fattori "persi".

Rappresentazione grafica

Per capire quali sono gli zeri di una funzione, puoi usareprogrammi matematiche come l'acero. E 'possibile costruire un grafico che indica il numero di punti desiderato e la scala desiderata. Quei punti in cui il grafico attraversa l'asse x rappresenta gli zeri necessari. Questo è uno dei modi più veloci di trovare le radici di un polinomio, soprattutto se è più alto del terzo ordine. Quindi, se v'è la necessità di eseguire regolarmente calcoli matematici, per trovare le radici di polinomi di poteri arbitrari, creare pianificazioni, acero o un programma simile è semplicemente indispensabile per l'attuazione e la verifica dei calcoli.