Come trovare l'altezza in un triangolo isoscele? La formula di ricerca, le proprietà di altezza in un triangolo isoscele

La geometria non è solo un oggetto a scuola,chi ha bisogno di ottenere una valutazione eccellente. È anche la conoscenza che è spesso richiesta nella vita. Ad esempio, quando si costruisce una casa con un tetto alto, è necessario calcolare lo spessore dei registri e il loro numero. Questo è facile se sai come trovare l'altezza in un triangolo isoscele. Le strutture architettoniche si basano sulla conoscenza delle proprietà delle forme geometriche. Le forme di edifici spesso somigliano visivamente a loro. Le piramidi egiziane, i pacchetti con il latte, i ricami artistici, i dipinti del nord e persino le polpette sono tutti triangoli che circondano una persona. Come diceva Platone, il mondo intero è basato su triangoli.

Il triangolo isoscele

Per rendere più chiaro ciò che verrà discusso in seguito, vale la pena ricordare le basi della geometria.

Un triangolo è isoscele se ha due lati uguali. Sono sempre chiamati laterali. Il lato, le cui dimensioni differiscono, è stato chiamato i motivi.

Concetti di base

Come ogni scienza, la geometria ha le sue regole e concetti di base. Ce ne sono molti. Considera solo quelli senza i quali il nostro argomento sarà in qualche modo incomprensibile.

L'altezza è una linea retta disegnata perpendicolarmente al lato opposto.

La mediana è un segmento diretto da qualsiasi vertice del triangolo esclusivamente al centro del lato opposto.

La bisettrice angolare è un raggio che divide l'angolo a metà.

La bisettrice di un triangolo è una linea retta, o meglio, un segmento della bisettrice dell'angolo che collega il vertice al lato opposto.

È molto importante ricordare che la bisettrice angolare è necessariamente un raggio, e la bisettrice di un triangolo fa parte di tale raggio.

Angoli alla base

Il teorema dice che gli angoli si trovano abase di qualsiasi triangolo isoscele, sono sempre uguali. È molto semplice dimostrare questo teorema. Si consideri il triangolo isoscele ABC mostrato, per il quale AB = BC. Dall'angolo ABC è necessario disegnare una bisettrice del VD. Ora considera i due triangoli ottenuti. A condizione AB = BC, il lato HP dei triangoli in generale, e gli angoli AED e SVD sono uguali, perché VD - bisettrice. Ricordando il primo segno di uguaglianza, possiamo tranquillamente concludere che i triangoli considerati sono uguali. E di conseguenza, tutti gli angoli corrispondenti sono uguali. E, naturalmente, le parti, ma a quel punto torneranno più tardi.

L'altezza di un triangolo isoscele

Il teorema principale su cui si basa la soluzionequasi tutti i problemi, suona come questo: l'altezza in un triangolo isoscele è una bisettrice e una mediana. Per capire il suo significato pratico (o essenza), è necessario fare un sussidio ausiliario. Per questo è necessario ritagliare un triangolo isoscele dalla carta. Il modo più semplice per farlo è da un foglio tetrado standard nella cella.

Piega a metà il triangolo risultante, allineandolati laterali. Cosa è successo? Due triangoli uguali. Ora devi controllare le congetture. Aprire gli origami. Disegna una linea di piegatura. Usando il goniometro, controlla l'angolo tra la linea disegnata e la base del triangolo. Cosa dice l'angolo di 90 gradi? Il fatto che la linea disegnata sia perpendicolare. Per definizione - altezza. Come trovare l'altezza in un triangolo isoscele, lo abbiamo risolto. Ora affrontiamo gli angoli in alto. Usando lo stesso goniometro, controlla gli angoli formati ora dall'altezza. Sono uguali. Ciò significa che l'altezza è anche una bisettrice. Armato con un righello, misurare le lunghezze su cui si spezza l'altezza della base. Sono uguali. Di conseguenza, l'altezza in un triangolo isoscele divide la base a metà ed è una mediana.

Prova del teorema

L'aiuto visivo dimostra chiaramente la verità del teorema. Ma la geometria - la scienza è abbastanza accurata, quindi richiede una prova.

Durante la considerazione dell'uguaglianza degli angoli conl'uguaglianza dei triangoli è stata dimostrata. Ricordiamo che il VD è una bisettrice e che i triangoli di AVD e SVD sono uguali. La conclusione era questa: i lati corrispondenti del triangolo e, naturalmente, gli angoli sono uguali. Quindi, AD = SD. Pertanto, VD è la mediana. Resta da dimostrare che VD è un'altezza. Procedendo dall'uguaglianza dei triangoli considerati, si scopre che l'angolo dell'ADB è uguale all'angolo del VDV. Ma questi due angoli sono contigui e, come è noto, danno un totale di 180 gradi. Quindi, a cosa sono pari? Certo, 90 gradi. Quindi, VD è l'altezza in un triangolo isoscele disegnato alla base. Come richiesto per dimostrare.

Caratteristiche principali

• Per risolvere con successo i problemi, è necessario ricordare le caratteristiche di base dei triangoli isosceli. Sembrano essere inversi ai teoremi.
• Se nel corso della risoluzione di un problema si trova l'uguaglianza di due angoli, si ha a che fare con un triangolo isoscele.
• Se fosse possibile dimostrare che la mediana è contemporaneamente l'altezza del triangolo, concludi coraggiosamente: il triangolo è isoscele.
• Se la bisettrice è anche l'altezza, quindi, in base alle caratteristiche principali, il triangolo viene chiamato isoscele.
• E, naturalmente, se la mediana appare nel ruolo di altezza, allora un tale triangolo è isoscele.

Formula dell'altezza 1

Tuttavia, per la maggior parte dei problemi è necessario trovare l'altezza aritmetica. Ecco perché consideriamo come trovare l'altezza in un triangolo isoscele.

Torniamo alla figura ABC mostrata sopra, in cui a sono i lati e c è la base. VD è l'altezza di questo triangolo, ha la designazione h.

Qual è il triangolo AED? Dal momento che HP - altezza, allora il triangolo AED - gamba rettangolare che si desidera trovare. Utilizzando la formula di Pitagora, si ottiene:

AV² = АД² + ВД²

Avendo determinato dall'espressione VD e sostituendo la notazione precedentemente utilizzata, otteniamo:

Н² = ² - (в / 2) ².

È necessario estrarre la radice:

H = √²² - in² / 4.

Se rimuoviamo dal segno radice ¼, la formula sarà simile a:

H = ½ √4a² - in².

Questa è l'altezza in un triangolo isoscele. La formula deriva dal teorema di Pitagora. Anche se dimentichi questa voce simbolica, allora, conoscendo il metodo di ricerca, puoi sempre ritirarla.

Formula dell'altezza 2

La formula sopra descritta è la principale e più spessoÈ usato per risolvere la maggior parte dei problemi geometrici. Ma non è l'unico. A volte nella condizione, invece della base, viene dato il valore dell'angolo. Con tali dati, come trovare l'altezza in un triangolo isoscele? Per risolvere problemi simili è consigliabile utilizzare una formula diversa:

H = a / sin α,

dove H è l'altezza diretta alla base,

ma - il lato,

a è l'angolo alla base.

Se l'attività assegna il valore dell'angolo al vertice, l'altezza nel triangolo isoscele è la seguente:

H = a / cos (β / 2),

dove H è l'altezza caduta sulla base,

β è l'angolo al vertice,

a è il lato.

Triangolo isoscele rettangolare

Una proprietà molto interessante è il triangolo, il cui vertice è di 90 gradi. Considera un triangolo a destra ABC. Come nei casi precedenti, VD è l'altezza diretta alla base.

Gli angoli alla base sono uguali. Calcola il loro grande lavoro non sarà:

α = (180-90) / 2.

Quindi, gli angoli alla base,sempre 45 gradi. Considerare ora il triangolo ADV. È anche rettangolare. Cerchiamo di trovare l'angolo di ABD. Con semplici calcoli, otteniamo 45 gradi. E, di conseguenza, questo triangolo non è solo rettangolare, ma anche isoscele. Le parti AD e VD sono lati laterali e sono uguali tra di loro.

Ma il lato BP allo stesso tempo è la metàlato AC. Si scopre che l'altezza in un triangolo isoscele è metà della base e, se scritta sotto forma di formula, otteniamo la seguente espressione:

H = B / 2.

Va ricordato che questa formula è un caso esclusivamente particolare e può essere utilizzata solo per triangoli rettangolari isosceli.

Triangoli d'oro

Molto interessante è il triangolo d'oro. In questa figura, il rapporto tra laterale e base è uguale al valore chiamato numero di Phidias. L'angolo nella parte superiore è di 36 gradi, alla base - 72 gradi. Questo triangolo fu ammirato dai Pitagorici. I principi del triangolo d'oro sono la base di molti capolavori immortali. Conosciuto per tutte le stelle a cinque punte è costruito sull'intersezione dei triangoli isosceli. Per molte creazioni, Leonardo da Vinci ha usato il principio del "triangolo d'oro". La composizione "Gioconda" si basa proprio sulle figure che creano un pentagono stellato regolare.

L'immagine "Cubismo", una delle creazioni di Pablo Picasso, affascina il punto di vista posto sulla base dei triangoli isosceli.